Schwarzの不等式の素朴な証明

イントロ

Schwarzの不等式は$n$次元ベクトル空間などの三角不等式の根拠となる重要な不等式である．Schwarzの不等式の証明でよく知られているものには，ある$2$次方程式の判別式を使うもの，正射影と直交分解によるものがある．これらの証明は高校生でも扱えるほど初等的ではあるが，読んでもSchwarzの不等式をわかった気分にはならない．これはどんな発想からその証明に至ったのかがわからないことが理由ではないか．今回，２つの有名な証明方法を紹介した後，より素朴な発想の証明を紹介する．この記事の構成は

• 内積・ノルム・Schwarzの不等式・三角不等式
• 判別式による証明
• 直交分解による証明
• 素朴な証明

である．

内積・ノルム・Schwarzの不等式・三角不等式

以下，この記事では $n \in \mathbb{N}$ とする．

内積

$x, y \in \Rn$に対して， \begin{equation*} \begin{alignedat}{1} \iProd{x}{y}& :=\sum\nolimits_{i=1}^n x_i y_i \\ &=x_1y_1+x_2y_2+\dots +x_ny_n \end{alignedat} \end{equation*} と定める． これが次の内積の公理を満たすことは容易にわかる． \begin{alignat}{2} &\iProd{x}{y}=\iProd{y}{x}.&\quad &( x, y \in \Rn )\tag{H1} \label{eq:H1} \\ &\iProd{\alpha x+\beta y}{z}=\alpha \iProd{x}{z}+\beta \iProd{y}{z}. &\quad& (x, y, z\in \Rn ; \alpha , \beta \in \mathbb{R}) \tag{H2}\label{eq:H2} \\ &\iProd{x}{x} \geq 0. &\quad &(x \in \Rn )\tag{H3}\label{eq:H3} \\ &\iProd{x}{x}=0 \iff x=0. &\quad &(x \in \Rn )\tag{H4} \end{alignat}

(ユークリッド)ノルム

$x \in \Rn$に対して \begin{equation*} \norm{x} := \left( \sum\nolimits_{i=1}^n x_i^2 \right) ^{1/2}\end{equation*} と定める． 明らかに$\norm{x}^2=\iProd{x}{x}\quad (x\in \Rn)$が成り立つ．非負性: $\norm{x} \geq 0\ (x\in \Rn)$も定義から明らかである． $\norm{\cdot}$は次のノルムの公理を満たしていることが知られている． \begin{alignat}{2} &\norm{\alpha x}=\left |\alpha \right |\norm{x}.&\quad &( x\in \Rn , \alpha \in \mathbb{R})\tag{N1} \\ &\norm{x+y}\leq \norm{x}+\norm{y}. &\quad& (x, y\in \Rn) \tag{N2}\label{eq:TI} \\ &\norm{x} =0 \iff x=0. &\quad &(x \in \Rn )\tag{N3} \end{alignat}

三角不等式$\eqref{eq:TI}$ を示すのにはSchwarzの不等式が使われる．

次の主張$\eqref{eq:SI}$をSchwarzの不等式という． \begin{equation} \iProd{x}{y}\leq \norm{x}\norm{y}.\quad(x, y\in \Rn)\label{eq:SI}\end{equation}

$\mathbf{\text{命題．}}$ Schwarzの不等式が成り立つとき，三角不等式\eqref{eq:TI}が成り立つ．

$\mathbf{\text{証明．}}x, y\in \Rn$とすると \begin{alignat*}{2} \norm{x+y}^2&=\iProd{x+y}{x+y} &\quad &\\ &=\iProd{x}{x}+2\iProd{x}{y}+\iProd{y}{y}&&\because\eqref{eq:H1}\eqref{eq:H2}\\ &=\norm{x}^2+2\iProd{x}{y}+\norm{y}^2&&\\ &\leq \norm{x}^2+2\norm{x}\norm{y}+\norm{y}^2&&\because \text{Schwarzの不等式}\\ &=\left(\norm{x}+\norm{y}\right)^2&& \end{alignat*} ユークリッドノルムの非負性から$\norm{x+y}\leq \norm{x}+\norm{y}$を得る．

$\square $

判別式による証明

$x, y\in \Rn$ととる．$f(t):=\norm{tx-y}^2 \ (t\in \mathbb{R})$と定めると \begin{alignat*}{1} \norm{tx-y}^2&=\iProd{tx-y}{tx-y}\\ &=\iProd{tx}{tx}-2\iProd{tx}{y}+\iProd{y}{y}\\ &=t^2\norm{x}^2-2t\iProd{x}{y}+\norm{y}^2. \end{alignat*} $x=0$のときはSchwarzの不等式は明らかに成立するから$x\neq 0$と仮定すると，$f$は$t$に関する$2$次関数である．$f(t)\geq 0\ (t \in \mathbb{R})$に注意すると$f$の判別式$D=\left ( 2\iProd{x}{y}\right )^2-4\norm{x}^2\norm{y}^2$は正であってはならない．よって\begin{equation*} \iProd{x}{y}^2\leq \norm{x}^2\norm{y}^2\end{equation*} ノルムの非負性から$\iProd{x}{y}\leq \norm{x}\norm{y}$を得る．

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$2$次方程式$|tx-y|^2=0$の判別式に注目するというのは私は思いつかない．

直交分解による証明

$x, y\in \Rn$とする． \begin{alignat*}{1} 0&\leq \norm{\norm{x}^2y-\iProd{x}{y}x}^2\\ &=\norm{\norm{x}^2y}^2-2\iProd{\norm{x}^2y}{\iProd{x}{y}x}+\norm{\iProd{x}{y}x}^2\\ &=\norm{\norm{x}^2y}^2-2\iProd{x}{y}^2\norm{x}^2+\iProd{x}{y}^2\norm{x}^2\\ &=\norm{x}^4\norm{y}^2-\iProd{x}{y}^2\norm{x}^2\\ &=\norm{x}^2\left( \norm{x}^2\norm{y}^2-\iProd{x}{y}^2\right ) \end{alignat*} よって$\norm{x}^2\norm{y}^2-\iProd{x}{y}^2\geq 0$を得る．

$\square $

$\norm{x}^2\norm{y}^2-\iProd{x}{y}^2$をうまく整理すると，あるベクトルのノルムの平方になる，というのがこの証明だ．トリッキーな感じがする．

素朴な証明

$x, y\in \Rn$とする． $x=0$のときは明らかだから$x\neq 0$と仮定してよい．$x$が生成する部分空間を$\langle x\rangle$と書く．$y_1$を$y$の$\langle x\rangle$へ正射影，すなわち \begin{equation*} y_1:=\frac{\iProd{x}{y}}{\norm{x}^2}x \end{equation*} ととり， \begin{equation*} y_2:=y-y_1 \end{equation*} ととると$x$と$y_2$は直交する．同様に$y_1$と$y_2$も直交する．すなわち \begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} &\iProd{x}{y_2}&&=0, \\ &\iProd{y_1}{y_2}&&=0. \end{alignedat} \right . \label{eq:orthogonality} \end{equation} したがって， \begin{alignat*}{2} \iProd{x}{y}^2&=\left(\iProd{x}{y_1}+\iProd{x}{y_2}\right)^2&\quad&\\ &=\iProd{x}{y_1}^2&&\because x\text{と}y_2\text{の直交性}\eqref{eq:orthogonality}\\ &=\norm{x}^2\norm{y_1}^2&&\because y_1 \text{は} x \text{のスカラ倍}\\ &\leq \norm{x}^2\left( \norm{y_1}^2+\norm{y_2}^2\right)&&\because \norm{x}^2\norm{y_2}^2\geq 0\\ &=\norm{x}^2 \norm{y_1+y_2}^2&&\because y_1\text{と}y_2\text{の直交性}\eqref{eq:orthogonality}\\ &=\left( \norm{x}\norm{y}\right)^2&& \end{alignat*}

$\square $

$x$と$y$が平行な場合と直交している場合にはSchwarzの不等式は明らかであり，一般の場合には$y$を$x$方向成分とその直交成分に分解すれば自然にSchwarzの不等式が得られる，というのがこの証明の発想．Schwarzの不等式は判別式による証明や直交分解による証明から受ける印象よりも自明だ．